지금까지 배운 것은 도구였다. 평균 · 표준편차 · 산점도 · 상자그림. 그러나 도구만으로는 아무것도 알아낼 수 없다. 먼저 질문이 있어야 한다. 좋은 질문을 세우고 · 자료를 모으고 · 알맞은 도구로 분석하고 · 조심스럽게 해석하는 네 걸음 — 이 한 바퀴가 통계적 탐구다.
이 질문에 답하려면 무엇이 필요한가. 평균? 상자그림? 산점도? — 아직 아무것도 정할 수 없다. 질문이 너무 흐리기 때문이다. 누구에게 물을 것인지, 무엇을 재야 하는지가 정해지지 않았다.
질문을 이렇게 고쳐 보자. "우리 학교 3학년 학생 30명은 일주일에 매점에서 간식을 몇 번 사 먹으며, 어떤 종류를 가장 자주 고르는가?" 이제 대상(3학년 학생)도, 잴 것(횟수와 종류)도 분명하다. 자료를 모을 수 있고, 도구도 저절로 정해진다.
통계는 계산에서 시작하지 않는다. 질문에서 시작한다.
알고 싶은 것을 한 문장으로 적는다. 누구를 대상으로 무엇을 잴 것인지가 그 문장 안에 들어 있어야 한다.
모집단을 정하고, 전부 조사할지(전수조사) 일부만 조사할지(표본조사) 결정한다. 표본이라면 치우치지 않게 뽑는 것이 전부다.
표로 정리하고, 대푯값과 산포도를 구하고, 그림으로 그린다. 질문의 종류가 도구를 정한다 — 중심이 궁금하면 대푯값, 퍼짐이면 표준편차나 IQR, 비교면 상자그림, 관계면 산점도.
숫자를 나열하는 것은 해석이 아니다. "그래서 답이 무엇인가"를 말하고, 이 결론이 어디까지 통하는지, 무엇이 부족했는지를 함께 적는다.
순서를 지켜야 하는 이유 자료를 먼저 모으고 나서 질문을 만들면, 이미 나온 결과에 맞는 질문을 고르게 된다. 그러면 어떤 자료든 그럴듯한 결론이 나와 버린다. 질문을 먼저 적어 두는 것은 자신을 속이지 않기 위한 장치다.
"우리 반은 착한가?"는 잴 수 없다. "우리 반 학생은 한 달에 봉사활동을 몇 시간 하는가?"는 잴 수 있다.
"청소년은…"처럼 막연하면 누구에게 물어야 할지 정할 수 없다. "우리 학교 3학년 학생"처럼 범위를 못 박는다.
"3학년 1반은 몇 명인가?"는 답이 하나뿐이라 통계 문제가 아니다. 사람마다 값이 다른 것을 물어야 분포가 생기고, 그래야 통계가 필요해진다.
"전국 중학생의 수면 시간"은 우리 힘으로 모을 수 없다. 모을 수 있는 범위로 줄이고, 줄였다는 사실을 결론에서 밝힌다.
"A와 B 중 어느 쪽이 더 큰가", "$x$ 가 커지면 $y$ 도 커지는가" 형태의 질문은 도구가 바로 정해지고 결론도 뚜렷해진다.
· 대상이 없다 — "사람들"이 누구인가
· "많이"의 기준이 없다
· 무엇을 잴지 모른다 (시간? 횟수? 개수?)
· 대상 = 우리 학교 3학년 학생
· 잴 것 = 하루 시청 시간(분)
· 비교 대상 = 평일 vs 주말 → 상자그림 두 개로 답할 수 있다
모집단은 우리가 알고 싶은 대상 전체. 표본은 그 중 실제로 조사한 일부다.
전체를 다 조사하면 전수조사, 일부만 조사해 전체를 추측하면 표본조사. 시간과 비용 때문에 대부분의 조사는 표본조사다.
표본이 모집단을 대표하게 만드는 가장 확실한 방법. 번호를 붙여 제비뽑기하거나, 난수를 만들어 뽑는다.
"편한 사람부터 뽑기", "관심 있는 사람만 응답하기"는 무작위가 아니다. 이때 표본은 한쪽으로 치우친다.
표본의 크기보다 뽑는 방법이 먼저다. 치우친 방법으로 100만 명을 모아도, 잘 뽑은 1,000명을 이기지 못한다.
역사 속 사례 — 240만 명이 틀린 이유 1936년 미국 대통령 선거에서 한 잡지사는 약 240만 명의 응답을 모아 승자를 예측했지만 결과는 정반대였다. 명단을 자동차 등록부·전화 가입자·잡지 구독자에서 뽑는 바람에 표본이 형편이 넉넉한 사람들로 치우쳤던 것이다. 같은 해 훨씬 작은 표본을 대표성 있게 뽑은 조사는 결과를 맞혔다. 표본은 크기가 아니라 뽑는 방법이 승부를 가른다.
| 알고 싶은 것 | 도구 | 배운 곳 |
|---|---|---|
| 한 집단의 중심은 어디인가 | 평균 · 중앙값 · 최빈값 | Ⅵ-2.1 |
| 튀는 값이 섞여 있을 때의 중심 | 중앙값 | Ⅵ-2.1 · 2.5 |
| 한 집단이 얼마나 흩어졌는가 | 분산 · 표준편차 | Ⅵ-2.2 |
| 두 집단의 분포를 견주고 싶다 | 상자그림 두 개를 같은 눈금에 | Ⅵ-2.5 |
| 튀는 값이 있는지 판정하고 싶다 | 1.5 × IQR 규칙 | Ⅵ-2.5 |
| 두 변수가 함께 변하는가 | 산점도 | Ⅵ-2.3 |
| 그 관계를 원인이라 말해도 되는가 | 말할 수 없다 — 상관 ≠ 인과 | Ⅵ-2.4 |
표의 왼쪽 칸이 곧 탐구 문제의 형태다. 문제를 정확히 적어 두면 오른쪽 칸은 저절로 따라온다. 반대로 도구부터 정하면 — 망치를 든 사람에게 모든 것이 못으로 보이는 일이 벌어진다.
통계는 확실함을 주지 않는다. 자료가 허락하는 만큼만 조심스럽게 말하는 것 — 그것이 통계를 제대로 쓰는 태도다.
단계 버튼으로 앞뒤로 오갈 수 있다. 3단계에 들어서면 질문의 종류에 맞는 도구가 자동으로 선택되어 계산과 그림이 만들어진다.
문제 설정 → 자료 수집 → 분석 → 해석. 그리고 다시 새 질문으로.
잴 수 있고 · 대상이 분명하고 · 값이 사람마다 다르고 · 감당할 크기.
크기보다 뽑는 방법. 치우친 표본은 아무리 커도 모집단을 대표하지 못한다.
중심이면 대푯값 · 퍼짐이면 표준편차와 IQR · 비교면 상자그림 · 관계면 산점도.
질문에 문장으로 답하고, 조사한 범위 밖으로 넓히지 않으며, 한계를 밝힌다.
상관은 인과가 아니다. 자료가 허락하는 만큼만 말한다.
중단원 완성 대푯값 · 분산과 표준편차 · 산점도와 상관관계 · 상관관계의 해석 · 상자그림과 분포 비교 · 통계적 탐구. 여섯 차시로 통계의 한 바퀴를 돌았다. 이제 중단원 점검과 수행과제에서 이 도구들을 한꺼번에 꺼내 쓴다.